Mijn favoriete optische illusie is de litho ‘Klimmen en dalen’ van Maurits Cornelis Escher uit 1960. Hier zien we een bouwwerk waarvan de buitenmuren uitmonden in een onmogelijke trap. Onmogelijk omdat de trap na enige tientallen treden en vier rechthoekige wendingen in zichzelf sluit. Dus na een rondje continu klimmen c.q. continu dalen ben je weer bij je uitgangspunt aangekomen, en dat kan natuurlijk niet.

Escher baseerde deze litho op de zogenaamde Penrose-trap, die in 1959, dus één jaar eerder, was gepubliceerd door Lionel en Roger Penrose.

Een tijd geleden vroeg ik me af of een dergelijke optische illusie ook vertaald kan worden in een overeenkomstige auditieve illusie. Met andere woorden:

Zou het mogelijk zijn om de illusie te creëren van een toonladder die in zichzelf sluit, zodat je dus eeuwig stijgt (of daalt), net zoals het geval is bij de Penrose-trap?

Die vraag bleek al eerder opgeworpen en beantwoord te zijn door Roger Newland Shepard in het midden van de vorige eeuw. Shepard ontdekte het mechanisme van de in zichzelf sluitende stijgende toonreeks in 1964 toen hij werkzaam was bij Bell Laboratories.

Het volgende filmpje verenigt de twee paradoxen: de Penrose-trap en de Shepard-toonladder.

We zien het stuiterende balletje voortdurend een trede hoger komen en toch weer op zijn uitgangspunt terugkeren. Net zo verwonderlijk is de toonladder die we horen. Elke opeenvolgende toon is hoger dan de voorafgaande, en toch komen we uiteindelijk weer terug bij de starttoon. Sterker nog: ondanks dat de toon duidelijk stijgt, lijkt hij desondanks niet van zijn plaats te komen.

Voor de verklaring van dit fenomeen, bekijken we figuur 3.