Waarom herbergt het oktaaf zeven witte en vijf zwarte toetsen?
15 januari 2013

Leerlingen vragen mij wel eens: 'Waarom heeft het pianoklavier eigenlijk zeven witte toetsen en vijf zwarte toetsen per oktaaf?' Ik antwoord meestal ontwijkend dat dit een feit is dat cultuurhistorisch is bepaald, en dat ik er later op zal terugkomen, hetgeen ik vervolgens nooit doe. Dat moet nu maar eens afgelopen zijn. Daarom zal ik dit eerste essay wijden aan:

Het waarom van de 7 (witte)+5 (zwarte) toetsen binnen het oktaaf.

Ons toonsysteem is enorm schatplichtig aan de oude Grieken, en dan met name aan de Pythagoreërs (Pythagoras en zijn volgelingen). De bekende do-re-mi ladder met zeven tonen, die gelijk is aan de pianotoetsvolgorde C-D-E-F-G-A-B, is door Pythagoras afgeleid met behulp van de zogenaamde kwintstapelingmethode. Hierbij worden kwinten op elkaar gestapeld en weer teruggeschaald naar het oorspronkelijke oktaaf.

N.B. Een kwintstapeling is een verhoging van de geluidsfrequentie met factor 3/2. Een terugschaling naar het oorspronkelijke oktaaf geschiedt met factoren 1/2, 1/3, 1/4, etc.

De Pythagoreërs pasten deze procedure zes keer toe, zodat een toonladder met zeven tonen ontstond:


Fig. 1. De constructie van Pythagoras.

De grote vraag is dus: waarom pasten de Pythagoreërs de kwintstapeling nou precies zes keer toe? Met name de Nederlandse wiskundige Jan van de Craats vraagt zich dit af in zijn boek ‘De Fis van Euler’. Van de Craats pleit voor een alternatief: zeven kwintstapelingen, resulterend in een toonladder bestaande uit acht tonen binnen het oktaaf (de extra achtste toon noemt hij de Fis van Euler).

Voor de Pythagoreërs was er echter geen enkele twijfel mogelijk over de keuze van het getal zes voor het aantal kwintstapelingen. Zes was voor hen namelijk het meest perfecte getal. Niet zozeer omdat het het product was van twee en drie, ofwel het eerste even en het eerste oneven getal, die als respectievelijk vrouwelijk en mannelijk werden beschouwd, maar meer omdat zes het eerste zogenaamde volmaakte getal is.

Intermezzo
Een volmaakt getal is een getal dat de som is van zijn delers, waarbij het getal zelf niet als deler beschouwd wordt. Met een beetje puzzelen vinden we dan:
Het eerste volmaakte getal is 6 = 1 + 2 + 3.
Het tweede volmaakte getal is 28 =1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Het derde volmaakte getal is 496 = 1 + 2 + 4 + 8 +16 + 31 + 62 + 124 + 248.
Einde intermezzo.

Daar komt nog het volgende bij:

Zes is niet alleen het eerste volmaakte getal, het is tevens het enige getal dat niet alleen de som maar ook het product van zijn delers is:

6 = 1 + 2 + 3 = 1 x 2 x 3

De mytische status van het getal zes blijkt ook uit de volgende uitspraak van de heilige Augustinus (354-430), toch niet de eerste de beste:

‘Zes is niet een perfect getal omdat God de aarde in zes dagen geschapen heeft, maar God heeft de aarde in zes dagen geschapen omdat zes een perfect getal is.’

Hiermee is het eerste gedeelte van onze vraag beantwoord: Er zijn zeven witte toetsen binnen het oktaaf (ofwel: de do-re-mi-ladder heeft zeven tonen binnen het oktaaf) omdat dit toonsysteem de erfenis is van de Pythagoreërs, die net zoveel kwintstapelingen gebruikten als gelijk was aan het (voor hen) meest perfecte getal (namelijk zes).

Om te begrijpen waarom er vijf zwarte toetsen zijn, gaan we de zeven witte toetsen van Pythagoras wat nader bekijken:


Fig. 1. De zeven witte toetsen van Pythagoras.

Ik ben zelf dol op rekenen, maar het is hier niet de plaats om op allerlei techische details in te gaan. Daarom moet de lezer maar van mij aannemen dat bovenstaande figuur correct is. Uit deze figuur blijkt dat de constructie van Pythagoras twee verschillende secundes oplevert, namelijk vijf grote secundes (rood) en twee kleine secundes (blauw) binnen het oktaaf. De grote secunde is ongeveer twee keer zo groot als de kleine secunde, hetgeen betekent dat er -in principe- plaats zou kunnen zijn voor vijf (zwarte) tussentoetsen. Uit de figuur lezen we verder af dat een (Pythagoreïsche) kwint 702 cents bedraagt.

In de vijftiende en zestiende eeuw ontstond er in Europa de behoefte om, al was het maar op beperkte schaal, te kunnen transponeren en te moduleren, ofwel in verschillende toonsoorten te kunnen spelen. Dit bereikte men door de kwintenstapeling met zes stappen (ja, ja) uit te breiden (drie in de kwintenreeks naar boven, en drie in de kwintenreeks naar beneden), zodat de volgende tussentonen ontstonden: de Fis, Cis, en Gis, en de Bes, Es, en As. Dit leidde tot 5 tussentoetsen, waarbij één toets zowel de Gis als de As kon beduiden. De snaar onder deze toets moest dus, al naar gelang wat men wenste, bijgestemd worden:


Fig. 1. De Pythagoreïsche uitbreiding met vijf zwarte tussentoetsen.

Met dit toetsenbord kon men in de volgende toonsoorten spelen:

C groot: c-d-e-f-g-a-b
A klein: a-b-c-d-e-f-g

G groot: g-a-b-c-d-e-fis
E klein: e-fis-g-a-b-c-d

D groot: d-e-fis-g-a-b-cis-d
B klein: b-cis-d-e-fis-g-a

A groot: a-b-cis-d-e-fis-gis
Fis klein: fis-gis-a-b-cis-d-e

F groot: f-g-a-bes-c-d-e
D klein: d-e-f-g-a-bes-c

Bes groot: bes-c-d-es-f-g-a
G klein:g-a-bes-c-d-es-f

Es groot: es-f-g-as-bes-c-d
C klein: c-d-es-f-g-as-bes

Ofwel: in toonsoorten van drie mollen tot drie kruisen. Dit lijkt veel, maar bleek toch onvoldoende.

In de zeventiende en achtiende eeuw groeide de drang naar vrijheid om in alle toonsoorten te kunnen spelen. De uiterste consequentie hiervan was dat een totaal nieuw toetsenbord ontwikkeld zou moeten worden. Maar omdat het bovenbeschreven toetsenbord met zeven witte en vijf zwarte toetsen per oktaaf al volledig ingeburgerd was geraakt in de gegoede kringen van de Europese landen voor de bespeling van klavecimbel, spinet, klavechord, virginaal en orgel, kwam er een andere oplossing bovendrijven: de leer van Pythagoras verlaten, en het oktaaf rigoreus opdelen in slechts twaalf equidistante tonen volgens het '7+5' toetsenbord.

Dit is de grondslag van de zogenaamde evenredige stemming, en deze oplossing heeft inderdaad (aan het begin van de negentiende eeuw) algemene ingang gevonden in de Westerse wereld.

De aanvaarding van de evenredige stemming betekende dat men in 'elke' toonsoort kon spelen. Daarbij moest men voor lief nemen dat het toonmateriaal aanzienlijk gereduceerd werd: Gis werd gelijkgesteld aan as en vice versa , cis werd gelijkgesteld aan des en vice versa, bisis werd gelijkgesteld aan c en vice versa, en hetzelfde geldt voor nog tientallen andere tonen. Dit staat bekend als de enharmonische gelijkstelling.

Hiermee is ook het tweede deel van de vraag beantwoord: de vijf zwarte toetsen zijn in eerste instantie geïntroduceerd als tussentoetsen op het eenvoudige klavier van Pythagoras met zeven witte toetsen, zodat het aantal toonsoorten waarin men kon spelen enigszins verruimd werd. De populariteit van dit toetsenbord en de wens om in alle toonsoorten te kunnen spelen heeft geleid tot de evenredige stemming: de opdeling van het oktaaf in twaalf gelijkwaardige tonen.

He he, dat is af. Het heeft me wel een paar avonden gekost, maar nu kan ik iedere leerling die de 7+5 vraag stelt eenvoudig en met een gerust hart antwoorden:

"Lees het essay wat ik er over geschreven heb. En als je er nog dieper in wilt duiken: neem volgende keer je zakcalculator mee, dan gaan we heerlijk rekenen aan frequenties, toonafstanden en stemmingen!"


Literatuur / bronnen:

[1] Hermann Helmholtz: On the Sensations of Tone, Dover
[2] David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Penguin
[3] Jan van de Craats: De Fis van Euler, Aramith

Copyright © 2013 René Kluiving